چاچ

عمر خیام و معادله درجه 3

این مطلب ترجمه ایست از

http://www.math.ntnu.no/~hanche/blog/khayyam.pdf

برای دیدن شکل لطفا به آن مراجعه کنید

 

 

عمر خیام بی‌شک شاعر بزرگی نبود اما ریاضیدان بزرگی بود! شکل یک راه هندسی برای یافتن ریشه‌های معادله درجه سه مشخص را نشان می‌دهد.

به زبان مدرن، a, b, c داده شده و دایره طوری ساخته شده که دو انتهای قطر آن در (-c,-b) و (a,-b) باشد. پس معادله دایره به این صورت است:

(x+c)(a-x)=(y+b)2

معادله هذلولی نشان داده شده

Xy=bc

به طوری که نقطه (-c,-b) به وضوح نقطه مشترک دو منحنی است.

با جایگزین کردن y=bc/x از معادله دوم در معادله اول و سپس ضرب کردن در x2 ، به معادله زیر می‌رسیم

X2(x+c)(a-x)=b2(c+x)2

عامل مشترک x+c نباید ما را شگفت زده کند؛ زیرا x=-c یک جواب معلوم متناظر با نقطه (-c,-b) برای معادله است. با حذف عامل مشترک و کمی مرتب کردن ، درپایان به معادله

 X3+b2x+b2c=ax2

برای 3 ریشه‌ی باقی مانده می‌رسیم.

این ممکن است یک راه غیر معمول برای نوشتن این معادله به نظر رسد اما عمر خیام به اعداد منفی دسترسی نداشته است.

 همه‌ی مقادیر در اینجا به عنوان طول‌های مثبت درنظرگرفته شده‌اند.

اگر زمانی که با چشمان مدرن خود نگاه می‌کنیم، پیگری کنیم٬ می‌توانیم به وضوح متوجه این که این روش برای هر عدد حقیقی a, b, c تا زمانی که b, c و a+c غیر صفر باشند کار می‌کند بشویم. اگر a+c=0 باشد، معادله به

 (x+c)(x2+b2) =0

ساده می‌شود و مشابها ساده‌سازی در موارد دیگر اعمال می‌شود، بنابراین این به معنای از دست دادن قسمت بزرگی از عمومیت مسئله نیست. هر چند این روش تنها در زمانی که ضریب x3 و x هم علامت باشند کار می‌کند. حتی این از دست دادن مقدار زیادی از عمومیت مساله نیست؛ زیرا با جایگزین کردن x با x+ξ برای ξ به اندازه کافی بزرگ هر معادله درجه سه‌ای را می‌توان به آن معادله‌ای که می‌تواند با ساختار خیام رفتار کند تبدیل کرد.

ما همچنین باید از این حقیقت که عمر خیام متغیرهای نام‌گذاری شده و علائم جبری را دردسترس نداشته تقدیر کنیم. بنابراین شرح مسئله مانند حل آن به صورت نثر بیان می‌شده و این کار برجسته‌ای است.

 

   + پارسا هوشمند ; ۳:٤٩ ‎ب.ظ ; ۱۳۸٩/٦/۱۱
comment نظرات ()